Bonjour,
Je bloque sur un exercice :
Dans un repere orthonormal (0,i,j)
Soit A(-1;1), B(1;2), C(2;-1) et D(0;-2).
Démontrer que ABCD est un parallélogramme et calculer son aire.
C'est l'aire que je n'arrive pas à calculer. J'avais pensé au vecteur normal AH ou AH est la hauteur du parallélogramme perpendiculaire à (AB) .... mais je ne vois pas comment faire
Merci de votre aide !
Tu peux facilement calculer les longueurs des côtés du triangle ABC et à partir de là utiliser la formule de Héron qui donne l'aire du triangle ABC : S = racine[p(p-a)(p-b)(p-c)] où p est le demi-périmètre
Je n'ai jamais vu cette formule .... il n'y a t'il pas une autre méthode ?
Je suis dans le chapitre géométrie analytique
det(AB,CD)=0
det(BC,AD)=0
Donc les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est un parallélogramme
et laire est égale à det(AD,AB)=7
je ne sais pas ce que c'est det
Si tu connais le produit scalaire de 2 vecteurs:
aire = [TEX]\sqrt{||AB||^2 ||AD||^2 -
où [TEX]||AB||[/TEX] est la norme du vecteur AB
euh..... merci sylvain, je ne suis pas sur de tout comprendre !
Il me semble pourtant qu'il faut utilisé l'orthogonalité !
det veut dire déterminant
Par définition det(u,v)=||u||.||v||.sin(u,v) (il y a des flèches sur u et v)
Par ailleurs, on dit que u et v sont colinéaires (parallèles) si et seulement si le determinant de ces deux vecteurs est nuls
Or l'expression du déterminant de deux vecteurs se note :
det(u,v)=xy'-yx'
avec u(x,y) et v(x',y')
Donc grâce au déterminant tu peux démontrer mais uniquement dans le plan que 2 vecteurs sont colinéaires.
En ce qui concerne l'aire de ton parallélogramme, tu peux calculer la norme du vecteur sur la longueur et celui de la largeur. Tu fais ensuite un produit de ces 2 normes et tu en déduis l'aire de ton parallélogramme.
Ou sinon tu restes dans le programme et tu utilise les classiques : tu cherches les coordonnées de chaque vecteur, tu regarde si tu peux multiplier l'un par un même réel pour obtenir l'autre, tu fais ça pour les quatre côtés du parallélogramme, et tu conclus.
Pour ce qui est de l'air, c'est base*hauteur... (tu calcules la norme des deux vecteurs)
c'est bien la le probleme .... comment calculer la norme du "vecteur de la hauteur" ?? J'avais pensé au produit scalaire AH.DC=0 puis X[IND]AH[/IND]*X[IND]DC[/IND]+Y[IND]AH[/IND]*Y[IND]DC[/IND]=0
... je ne connait pas les coordonnées de H et je me retrouve avec 2a+b+1=0 avec H(a;b)
J'ai une idée un peu compliquée (bof je suis en vacances aussi, je pense pas forcément maths ;) ) :
Tu calcules l'équation de la droite (AB) :
On a A(-1;1), B(1;2), C(2;-1) et D(0;-2).
TEX : y = ax + b[/TEX]
[TEX]a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]A \in (AB) : y_A = \frac{1}{2}x_A + b[/TEX]
[TEX]b = 1 - \frac{1}{2} imes(-1) = \frac{3}{2}[/TEX]
TEX : x - 2y + 3 = 0[/TEX]
Ensuite, il suffit de calculer la distance d'un point de (CD) à (AB) (ce sera en fait la hauteur du parallélogramme) :
[TEX]d(C ; (AB)) = \frac{|x_C-2y_C+3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{2 -2(-1) + 3}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}[/TEX]
Après tu peux facilement trouver [AB] :
[TEX]||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}[/TEX]
Donc l'aire... tu multiplies et tu trouves 7.
Après, je suis sûr qu'il y a plus simple !
Je ne comprends pas pourquoi tu ne veux pas utiliser le déterminant, pourtant c'est un outil comme le produit scalaire, sauf que le déterminant permet de calculer facilement l'aire du parallélogramme.
det(AB,AD) correspond à l'aire du parallélogramme construit par ces deux vecteurs (cours de géométrie élémentaire du plan). L'expression du produit scalaire de deux vecteurs est xx'+yy' celle du déterminant est xy'-yx'.
Il te suffit de l'appliquer à ton cas : det(AB,AD)=2.(-3)-1.1=-7, étant donné que c'est une aire que l'on calcule c'est bien entendu la valeur absolu donc Aire=|det(AB,AD)|=7
Je ne comprends pas pourquoi tu ne veux pas utiliser le déterminant, pourtant c'est un outil comme le produit scalaire, sauf que le déterminant permet de calculer facilement l'aire du parallélogramme.
det(AB,AD) correspond à l'aire du parallélogramme construit par ces deux vecteurs (cours de géométrie élémentaire du plan). L'expression du produit scalaire de deux vecteurs est xx'+yy' celle du déterminant est xy'-yx'.
Il te suffit de l'appliquer à ton cas : det(AB,AD)=2.(-3)-1.1=-7, étant donné que c'est une aire que l'on calcule c'est bien entendu la valeur absolu donc Aire=|det(AB,AD)|=7
Démontre lui ces deux propriétés du déterminant, et après il pourra l'utiliser.
Si je ne m'abuse, ce n'est enseigné qu'après la terminale.
Ok
Soit u(x,y) et v(x',y') dans la base (0,i.j) orthonormale directe
Soit u=xi[IND]1[/IND]+yj[IND]2[/IND]
et v=x'i[IND]1[/IND]+y'j[IND]2[/IND]
det(u,v)=det(xi[IND]1[/IND]+yj[IND]2[/IND],x'i[IND]1[/IND]+y'j[IND]2[/IND])
=xx'det(i,i)+xy'det(i,j)+x'ydet(j,i)+yy'det(j,j)
=(xy'-x'y)det(i,j)=xy'-x'y car det(i,j)=1
Ok Soit u(x,y) et v(x',y') dans la base (0,i.j) orthonormale directe Soit u=xi[IND]1[/IND]+yj[IND]2[/IND] et v=x'i[IND]1[/IND]+y'j[IND]2[/IND]
det(u,v)=det(xi[IND]1[/IND]+yj[IND]2[/IND],x'i[IND]1[/IND]+y'j[IND]2[/IND]) =xx'det(i,i)+xy'det(i,j)+x'ydet(j,i)+yy'det(j,j) =(xy'-x'y)det(i,j)=xy'-x'y car det(i,j)=1
Sans vouloir te vexer, tu ne démontres rien :/
Tu as juste montré que, si det(i,j) = 1, alors det(u,v) = xy'-x'y.
Pas facile quand on ne connaît pas le niveau de Nikko22.
Déjà montrer que les vecteurs AB et DC sont égaux suffit pour que ce soit un parallélogramme.
Ensuite on peut voir assez facilement en traçant la hauteur que l'aire vaut AB.BC.sin(ABC) (c'est le produit vectoriel ou le déterminant mais ça peut se voir directement).
Le sinus se déduit du cosinus par la formule d'Al Kashi dans le triangle ABC et c'est fini (c'est ce qu'écrivait sylvainc2)
Excuse moi nono212 mais bon j'ai démontré ce qu'il nous intéresse , on travaille dans une base orthonormale directe donc c'est cette démonstration qui nous intéresse.
C'est dingue je propose juste une autre réponse, tu te fais quasiment agressé, tu n'es pas le prof de maths nono212 , tu participes juste à une discussion sur un forum. Je ne comprends pas ton ton insistant, ne t'inquiète pas, ton résultat est aussi juste, je proposais juste une autre méthode de calcul plus rapide même si l'éditeur du sujet ne la connait pas, cela lui permettra d'élargir ses connaissances.
Bonjour je peux proposer une solution n'utilisant que le produit scalaire et le théorème de Pythagore si ça peut aider...
On trace la hauteur du parallélogramme issue de A qu'on appelle H, de coordonnées (a,b) dans le repère (Oij).
[TEX]\vec AB = \vec DC = (2,1) \Rightarrow ||\vec AB||=AB=\sqrt{\vec AB . \vec AB}=||\vec DC||=DC=\sqrt{\vec DC . \vec DC}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \ \vec AD = \vec BC = (1,-3) \Rightarrow ||\vec AD||=AD=\sqrt{\vec AD . \vec AD}=||\vec BC||=BC=\sqrt{\vec BC . \vec BC}=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}[/TEX]
Cela prouve en outre par deux fois que ABCD est un parallélogramme.
[TEX]\vec AH = (a+1,b-1) \ et \ \vec DH=(a,b+2) \ \Rightarrow ||\vec AH||=AH=\sqrt{\vec AH . \vec AH}=\sqrt{(a+1)^2+(b-1)^2} \ et \ ||\vec DH||=DH=\sqrt{\vec DH . \vec DH}=\sqrt{a^2+(b+2)^2}[/TEX]
Comme on sait que l'angle AHD est un angle droit, on peut utiliser le produit scalaire et le théorème de Pythagore.
[TEX]\vec AH . \vec DC = 0 \Leftrightarrow 2(a+1)+1(b-1)=0 \Leftrightarrow 2a+b+1=0 \Leftrightarrow b=-1-2a[/TEX]
On écrit maintenant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHD :
[TEX]AH^2+DH^2=AD^2 \Leftrightarrow (a+1)^2+(b-1)^2+a^2+(b+2)^2=10 \Leftrightarrow a^2+2a+1+b^2-2b+1+a^2+b^2+4b+4-10=0 \ Autrement \ dit \ a^2+b^2+a+b-2=0[/TEX]
On a deux inconnues dans l'équation, mais on va écrire b en fonction de a à partir de l'équation établie par le calcul précédent :
[TEX]a^2+(-1-2a)^2+a-1-2a-2=0 \Leftrightarrow 5a^2+3a-2=0 \Leftrightarrow a=\frac{-3+\sqrt{3^2-4*5*(-2)}}{2*5}=\frac{2}{5}[/TEX]
Cela nous permet de trouver b : [TEX]b=-1-2*(\frac{2}{5})=-\frac{9}{5}[/TEX]
On peut maintenant connaître la hauteur AH du parallélogramme :
[TEX]AH=\sqrt{(a+1)^2+(b-1)^2}=\sqrt{(\frac{2}{5}+1)^2+(-\frac{9}{5}-1)^2}=\sqrt{\left( \frac{7}{5} \right)^2(1+(-2)^2)}=\frac{7}{\sqrt{5}}[/TEX]
L'aire du parallélogramme est donc :
[TEX]A=AH.DC=\frac{7}{\sqrt{5}} \sqrt{5}=7[/TEX]
Sinon on peut utiliser la norme du produit vectoriel mais je pense que cela revient aux calculs de déterminants exposés précédemment.
P.S. : Je m'excuse si jamais certaines personnes sont dérangées par le fait que j'écris qu'un vecteur est égal à ses coordonnées mais vu qu'on ne travaille que dans un seul repère, je pense qu'il n'y a aucune ambigüité.
Excuse moi nono212 mais bon j'ai démontré ce qu'il nous intéresse , on travaille dans une base orthonormale directe donc c'est cette démonstration qui nous intéresse.
C'est dingue je propose juste une autre réponse, tu te fais quasiment agressé, tu n'es pas le prof de maths nono212 , tu participes juste à une discussion sur un forum. Je ne comprends pas ton ton insistant, ne t'inquiète pas, ton résultat est aussi juste, je proposais juste une autre méthode de calcul plus rapide même si l'éditeur du sujet ne la connait pas, cela lui permettra d'élargir ses connaissances.
Je n'ai jamais dit que le déterminant n'existait pas ni ses propriétés, j'ai juste dit qu'ici on est dans la partie Lycée, et que le déterminant n'est abordé que plus tard. Or, il peut être intéressant de le connaître, mais il faut démontrer ses propriétés avant de pouvoir l'utiliser.
Quand je dis ses propriétés, c'est comment il est défini, comment s'en servir pour calculer une aire.