Conjecture de Baum Connes.

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Bonjour à tous,

Soit [TEX]G[/TEX] un groupe localement compact, de Hausdorff, et ''second countable''.
La conjecture de Baum Connes stipule que, le morphisme d'assemblage,
[TEX]\mu_G \ : \ K_^G ( \underline{E} G ) o K_ ( C_{r}^{} (G))[/TEX]
est en fait un isomorphisme.
Aujourd'hui, j'ai pu remarquer l'existence de quelques similarités entre ce morphisme d'assemblage, et le morphisme induit par le théorème de Riemann Roch Hizerbruch, qui est, l'isomorphisme,
[TEX]
u \ : \ K^ (BG) \otimes \mathbb{Q} o H^* (BG) \otimes \mathbb{Q}[/TEX]
Si, [TEX]\underline{E} G[/TEX] est l'espace classifiant pour les actions libres et propres, alors, [TEX]K_^G ( \underline{E} G ) = K_ ( \underline{B} G )[/TEX]
D'où le morphisme d'assemblage se met sous la forme, [TEX]\mu_G \ : \ K_* ( \underline{B} G ) o K_* ( C_{r}^{} (G))[/TEX] qui ressemble fortement au morphisme,
[TEX]
u \ : \ K^ (BG) \otimes \mathbb{Q} o H^* (BG) \otimes \mathbb{Q}[/TEX]

Les deux morphismes sont,
- des morphismes de cohomologies généralisées.
- des morphismes d'espaces classifiants.

Est ce une coïncidence ?

Si ce n'est pas une coïncidence, est ce que le morphisme d'assemblage qui est un indice de Fredholm, peut être vu comme une classe caractéristique ? Si oui, quelle est la nature de cette classe caractéristique ? Autrement dit, est ce c'est une classe de Chern, par exemple ?

C'est une très belle remarque qui peut aider à mieux comprendre cette conjecture.

Merci d'avance.

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Bref, le morphisme d'assemblage inverse, [TEX]\mu_G^{ - 1 } \ : \ K_* ( C_{r}^{} (G)) o K_ ( \underline{B} G ) [/TEX] est une généralisation du morphisme caractéristique, [TEX]
u \ : \ K^* (BG) \otimes \mathbb{Q} o H^* (BG) \otimes \mathbb{Q}[/TEX] pour les [TEX]C^[/TEX] - algèbres **non* commutatives, [TEX]C_r^* (G)[/TEX], avec, [TEX]K_* ( \underline{B} G )[/TEX] qui par définition est, [TEX]K_* ( \underline{B} G ) = KK^* ( C_0 ( \underline{B} G ) , \mathbb{C} ) [/TEX] est la K-homologie équivariante de l'espace classifiant les actions propres du groupe [TEX]G[/TEX], généralisant la cohomologie singulière ( i.e, ordinaire ), [TEX]H^* (BG)[/TEX].

Voilá. Il reste à l'établir. ;)

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La conjecture de Baum Connes c'est du beaucoup trop lourd pour moi.
Mais merci d'avoir signalé son existence qui je trouve être une sorte d'Everest de l’abstraction mathématique :-)

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Bonjour,

Merci pour ta participation à cette discussion pachacamac. ;)
En fait, je n'ai pas encore terminé mon introduction,

Je stipule que, le morphisme d'assemblage inverse, [TEX]\mu_G^{ - 1 } \ : \ K_* ( C_{r}^{} (G)) o K_ ( \underline{B} G ) [/TEX] est donc, une classe caractéristique. Je m'explique,
Pour, [TEX]
u \ : \ K^* (BG) \otimes \mathbb{Q} o H^* (BG) \otimes \mathbb{Q}[/TEX], il s'agit d'une classe de Chern, qui associe à tout polynôme symétrique en la courbure, [TEX] [P(R_{
abla})] \in H^* (BG)[/TEX], une classe de fibrés vectoriels, [TEX][E][/TEX] dans, [TEX]K_* ( \underline{B} G )[/TEX].
Pour, le morphisme d'assemblage inverse, [TEX]\mu_G^{ - 1 } \ : \ K_* ( C_{r}^{} (G)) o K_ ( \underline{B} G ) [/TEX] que je stipule être une classe de Chern généralisée, elle doit associer une généralisation de la notion de polynôme symétrique [TEX]P[/TEX], à une généralisation de fibré vectoriel [TEX]E[/TEX].
Dans un premier temps,
- Un candidat prévu pour une généralisation du polynôme [TEX]P[/TEX] est le symbole d'un opérateur pseudo-différentiel [TEX]\sigma (P)[/TEX], mais, on peut voir que c'est un peu restrictif.
- Un candidat prévu pour une généralisation du fibré vectoriel [TEX]E[/TEX] est un fibré de Hilbert non commutatif, mais c'est restrictif aussi.
Le défi à soulever est de construire un morphisme d'assemblage inverse, [TEX]\mu_G^{ - 1 } \ : \ K_* ( C_{r}^{} (G)) o K_ ( \underline{B} G ) [/TEX] qui associe à tout opérateur elliptique généralisé TEX[/TEX] dans [TEX]K_* ( \underline{B} G )[/TEX], un [TEX]C_{r}^{} (G)[/TEX] - module, [TEX]M[/TEX], dans [TEX]K_ ( C_{r}^{} (G))[/TEX] où, [TEX]\mathcal{H}[/TEX] est un espace de Hilbert complexe séparable, et, [TEX]\pi \ : \ G o \mathcal{U} ( \mathcal{H} )[/TEX] est une représentation unitaire du groupe de [TEX]G[/TEX] sur [TEX]\mathcal{H}[/TEX], et [TEX]\rho \ : \ C_0 (X) o \mathcal{B} ( \mathcal{H} )[/TEX] est une représentation de la [TEX]C^[/TEX] - algèbre [TEX]C_0 (X)[/TEX] sur [TEX]\mathcal{H}[/TEX], et [TEX]F \in \mathcal{B} ( \mathcal{H} )[/TEX], et, [TEX]F \in \mathcal{B} ( \mathcal{H} )[/TEX] l'espace des opérateurs bornés sur [TEX]\mathcal{H}[/TEX].
Alors, on procède comme ce que Alain Connes a fait.
Il a réussi à établir que toute variété riemannienne est entièrement déterminée par un triplet spectral ( Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_triple )
Donc, dans un premier temps, pour essayer de comprendre la conjecture de Baum Connes, il faut essayer de faire comme Connes : Il faut montrer pourquoi un symbole d'un opérateur pseudo-différentiel [TEX]\sigma (P)[/TEX] est entièrement déterminé par un opérateur elliptique généralisé TEX[/TEX] dans [TEX]K_* ( \underline{B} G )[/TEX].

C'est le défi à relever pour essayer de se rapprocher d'une preuve définitive de la conjecture de Baum Connes.