J'ai repris entièrement l'exercice.
Je pense que le problème était que j'avais basé mon étude au voisinage d'un point de E, ce qui ne me permet pas d'aboutir, alors que je dois plutôt le faire au voisinage d'un point de L(E).
Je ne doute pas qu'il y ait plus court, mais j'ai besoin que cette solution vienne de moi. Voilà ce que je propose :
Pour k∈lN posons :
[tex]\begin{array}{ccccc}
u_k & : & L(E) & o & L(E) \
& & a & \mapsto & \frac{a^k}{k!}\
\end{array}[/tex]
[tex]\forall a \in L(E)[/tex], il est évident que [tex]\forall k \in \mathbb{N}, a^k \in L(E)/tex. Puisque toute application linéaire est continue sur un ev de dim finie, on en déduit que les a^k sont continues sur E, donc les [tex]u_k[/tex] sont continues sur E.
**On peut munir L(E) d'une norme ll ll sous-multiplicative. On peut choisir par exemple la norme classique d'application linéaire :
[tex]\begin{array}{ccccc}
\mid\mid\quad\mid\mid & : & L(E) & o & \mathbb{R}_{+} \
& & a & \mapsto & \underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ a(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}\end{array}[/tex], **
où [tex]\mid\mid\quad\mid\mid_E[/tex] désigne une norme quelconque de E.
[tex]\mid\mid\quad\mid\mid[/tex] est bien définie puisqu'en dim finie, a∈L(E) est nécessairement continue et une propriété du cours nous dit qu' en dim finie, a∈L(E) est continue ssi [tex]\exists r \ge 0 \forall x\in E \left|\ a(x) \right|_E \le r\left|\ x \right|_E[/tex], ce qui prouve l'existence de [tex]\left|\ a \right|=\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ a(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}[/tex].
N'ayant jamais manipulé cette application, je montre que ll ll est une norme et qu'elle est sous-multiplicative, ce qui ne m'a pas paru si évident :
[ul]
[tex]\forall (\lambda,u)\in \mathbb{K} imes L(E),\left|\ \lambda u \right|= \underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ \lambda u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}=\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}|\lambda|\frac{\left|\ u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}=|\lambda|\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}=|\lambda| ||u||;[/tex]
[/ul]
[ul]
[li][tex]\forall (u,v)\in L(E)^2, \left|\ u+v \right|=\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ (u+v)(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}\le \underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}(\frac{\left|\ u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}+\frac{\left|\ v(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E})\le \underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}+\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ v(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}=\left|\ u \right|+\left|\ v \right|[/tex]
[/li][/ul]
[ul]
[li][tex]\forall u \in L(E) \quad\quad\left|\ u \right|=0 \Rightarrow \forall x \in E\setminus{\left{0\right}\quad\quad\frac{\left|\ u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}=0 \Rightarrow \left|\ u(x) \right|_E=0 \Rightarrow u(x)=0 \Rightarrow u=0[/tex]
[/li][/ul]
[ul]
[li][tex]\forall (u,v) \in L(E)^2[/tex], on a [tex]\left|\ u \right|=\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ u(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}[/tex] et [tex]\left|\ v \right|=\underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ v(x) \right|_E}{\left|\ x \right|_E}[/tex],
[/li]
donc [tex]\forall x \in E\setminus Ker\quad\ u\quad\quad\ \frac{\left|\ v(u(x)) \right|_E}{\left|\ u(x) \right|_E} \le \left|\ v \right|\Leftrightarrow \left|\ v(u(x)) \right|_E \le \left|\ v \right|\left|\ u(x) \right|_E \Leftrightarrow \left|\ v(u(x)) \right|_E \le \left|\ v \right|\left|\ u \right|\left|\ x \right|_E \Leftrightarrow \frac{\left|\ v(u(x)) \right|_E}{\left|\ x \right|_E} \le \left|\ v \right|\left|\ u \right|[/tex]
et comme pour tout x∈Ker u \ {0} on a aussi l'inégalité précédente, on en déduit :
[tex]\left|v\circ u\right|= \underset{x \in E\setminus{\left{0\right}}}{\sup}\frac{\left|\ v(u(x)) \right|_E}{\left|\ x \right|_E} \le \left|\ v \right|\left|\ u \right|.[/tex]
[/ul]
Soit [tex]a \in L(E)[/tex] et un réel [tex]r \gt \left|\ a \right|.[/tex] Alors :
[tex]\forall k \in \mathbb{N}\quad\forall b \in B_{F}(0,r)\quad \left|\ b \right| \le r \Rightarrow \left|\ u_{k}(b) \right|=\left|\frac{b^k}{k!} \right| \le \frac{\left|\ b \right|^k}{k!} \le \frac{r^k}{k!}[/tex] [RIGHT](*)[/RIGHT]
Les applications [tex]u_k[/tex] sont donc bornées sur [tex]B_{F}(0,r)\subset L(E).[/tex]
Intermède : (Attention j'utilise ici des notations générales de mon cours, indépendantes de l'exercice) D'après la définition de la convergence normale (CVN), pour montrer que Σu[n] CVN où dans mon cours les u[n] sont des fonctions d'une partie A d'un lK-evn E de dim finie à valeurs dans un lK-evn F également de dim finie, il faut montrer que les u[n] sont bornées (ce que j'ai fait plus haut), mais aussi que la série ΣNoo(u[n]) converge, ou la norme infinie Noo est définie par : [tex]N_{\infty}=\underset{x \in A}{\sup}\left|\ u_{n}(x) \right|[/tex] qui est la norme infinie sur [tex]\mathcal{B}(A,F)[/tex] associée à la norme ll ll de E ([tex]\mathcal{B}(A,F)[/tex] désignant l'ev des applications bornées de A dans E).
Revenons à l'exercice, L(E) joue le rôle du E de l'intermède, ll ll désigne la norme sous-multiplicative de L(E), [tex]B_{F}(0,r)\subset L(E)[/tex] joue le rôle du A de l'intermède et F=L(E) ici. Ce que je veux faire alors, c'est déterminer cette norme infinie dans le cas de mon exo. Pour des applications usuelles de lR dans lR c'est une norme connue mais pour une application de L(E) dans L(E) beaucoup moins pour moi.
Ainsi, pour toute application bornée (pour la norme d'endomorphisme de E : ll ll) [tex]u \in \mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E))[/tex], notons [tex]N_{\infty}[/tex] la norme associée à ll ll définie par :
[tex]\begin{array}{ccccc}
N_{\infty} & : & \mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E)) & o & \mathbb{R}_{+} \
& & u & \mapsto & \underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ u(b) \right|\end{array}[/tex]
(L'application d'endomorphismes de E, u est bornée pour ll ll signifie que [tex]\exists C \ge 0[/tex] tq pour tout endomorphisme [tex]b\in L(E)[/tex], plus précisément ici, [tex]b \in B_{F}(0,r)\subset L(E) \quad \quad \left|\ u(b) \right| \le C[/tex], donc [tex]N_{\infty}(u)=\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ u(b) \right|[/tex] existe et [tex]N_{\infty}[/tex] est donc bien définie. Montrons qu'il s'agit bien d'une norme sur l'ev [tex]\mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E))[/tex].
[ul]
[li][tex]\forall (\lambda,u) \in \mathbb{K} imes\mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E))[/tex], on a:
[/li]
[tex]N_{\infty}(\lambda u)=\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ (\lambda u)(b) \right|=\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}(|\lambda|\left|\ u(b) \right|)=|\lambda|\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ u(b) \right|=|\lambda|N_{\infty}(u).[/tex]
[/ul]
[ul]
[li][tex]\forall (u,v) \in \mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E))^2[/tex], on a :
[/li]
[tex]N_{\infty}(u+v)=\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ (u+v)(b) \right| \le \underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}(\left|\ u(b) \right|+\left|\ v(b) \right|) \le \underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ u(b) \right|+\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ v(b) \right| = N_{\infty}(u)+N_{\infty}(v).[/tex]
[/ul]
[ul]
[li][tex]\forall u \in \mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E))[/tex], on a:
[/li]
[tex]N_{\infty}(u)=0 \Rightarrow \underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ u(b) \right|=0 \Rightarrow \forall b \in B_F(0,r) \quad\quad \left|\ u(b) \right|=0 \Rightarrow u(b)=0_{L(E)}.[/tex]
Donc [tex]\quad u=0_{\mathcal{B}(B_{F}(0,r),L(E))}\quad\quad ).[/tex][/ul]
Finalement, d'après l'inégalité (*) établie précédemment, [tex]\forall n \in \mathbb{N}, \forall b \in B_{F}(0,r)[/tex], on a :
[tex]\sum_{k=0}^{n}\left|\ u_{k}(b) \right| \le \sum_{k=0}^{n}N_{\infty}(u_k)=\sum_{k=0}^{n}\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\left|\ u_{k}(b) \right|=\sum_{k=0}^{n}\underset{b \in B_F(0,r)}{\sup}\frac{\left|\ b^k \right|}{k!} \le \sum_{k=0}^{n}\frac{\left|\ b \right|^k}{k!} \le \sum_{k=0}^{n}\frac{r^k}{k!},[/tex]
Or, puisque [tex]\quad \sum \frac{r^k}{k!},[/tex] converge, alors [tex]\quad \sum N_{\infty}(u_k)[/tex] converge, c-a-d [tex]\quad \sum u_k[/tex] CVN sur [tex]B_{F}(0,r)[/tex]. Puisque [tex]B_{F}(0,r)[/tex] est un voisinage de a, on en conclut que Σu[k] CVN au voisinage de tout point de L(E).
Par continuité des applications u[k], on en déduit la continuité de la limite de la série Σu[k] d'où la continuité de l'application exp sur L(E).