Je vous joins une capture d'écran donnant les passages importants de ma question.
Voici mon problème : l'auteur semble sous-entendre ici que la suite [TEX]$(X_n){n \in \mathbb{N}$[/TEX] qu'il a définie ne convergence pas en loi vers la variable aléatoire X avec comme argument que [TEX]$F_n(0)$[/TEX] ne converge pas vers [TEX]$F{X}(0)$[/TEX].
Or, comme rappelé dans la définition, pour la convergence en loi, on s'intéresse aux points de continuité de la fonction de répartition [TEX]$F_{X}$[/TEX].
Ici, [TEX]$0$[/TEX] n'est pas un point de continuité de [TEX]$F_{X}$[/TEX] car [TEX]$0$[/TEX] est un atome pour [TEX]$X$[/TEX].
Après calculs, je trouve même que la suite de variables aléatoires [TEX]$(X_n)_{n \in \mathbb{N}$[/TEX] converge bien en loi vers [TEX]$X$[/TEX].
Est-ce que je me trompe et dans ce cas pourriez-vous s'il vous plaît m'indiquer mon ou mes erreurs ?
Voici l'énoncé complet mais je ne crois pas que cela change quelque chose.
De ce que j'ai compris implicitement, on fixe un espace probabilisé quelconque TEX[/TEX] sur lequel on définit les variables aléatoires réelles [TEX]$(X_n){n \in \mathbb{N}$[/TEX] et [TEX]$X$[/TEX] comme dans l'énoncé.
On a bien convergence simple de la suite de variable aléatoires [TEX]$(X_n){n \in \mathbb{N}$[/TEX] vers [TEX]$X$[/TEX] sur [TEX]$\Omega$[/TEX], [TEX]$X$[/TEX] étant la variable aléatoire identiquement nulle sur [TEX]$\Omega$[/TEX].
Comme dit dans mon précédent message je ne comprends pas pourquoi l'auteur semble sous-entendre qu'on a pas ici convergence en loi de [TEX]$(X_n)_{n \in \mathbb{N}$[/TEX] vers [TEX]$X$[/TEX].
Cordialement,
non seulement l'exemple n'est pas correct mais la proposition énoncée ne l'est pas non plus. On sait que la convergence presque-sûre entraîne la convergence en loi. C'est dans tous les cours de probas.