Je prépare actuellement une leçon d’oral d’agrégation sur les extremums, et je me suis aperçu que, dans le Gourdon (Analyse, 3ᵉ éd.), la condition nécessaire d’annulation du gradient en un extremum local est bien énoncée, mais sans démonstration (page 336)
J’ai donc rédigé par moi-même une démonstration de cette proposition, que je joins en pièce jointe (au format PDF). J’ai essayé de la rendre aussi propre et lisible que possible.
Si certains ou certaines d’entre vous acceptent de la relire, je serais très reconnaissant d’avoir vos retours — que ce soit sur la rigueur, la clarté, ou d’éventuelles imprécisions que j’aurais pu laisser passer. Un grand merci d’avance à celles et ceux qui prendront le temps de me lire, et encore davantage à celles et ceux qui prendront le temps de me répondre.
Bonjour,
Tu te compliques vraiment la vie. Supposons que [TEX]f[/TEX] a en [TEX]a=(a_1,\ldots,a_n)[/TEX] un extremum local. Alors la fonction [TEX]x\mapsto f(x,a_2,\ldots,a_n)[/TEX] a en [TEX]a_1[/TEX] un extremum local et donc sa dérivée en [TEX]a_1[/TEX], qui est [TEX]\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(a)[/TEX] est nulle.
Bonjour,
Tu te compliques vraiment la vie. Supposons que [TEX]f[/TEX] a en [TEX]a=(a_1,\ldots,a_n)[/TEX] un extremum local. Alors la fonction [TEX]x\mapsto f(x,a_2,\ldots,a_n)[/TEX] a en [TEX]a_1[/TEX] un extremum local et donc sa dérivée en [TEX]a_1[/TEX], qui est [TEX]\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(a)[/TEX] est nulle.
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse et pour m’avoir partagé cette approche plus directe. Elle est effectivement beaucoup plus rapide même si elle présuppose d'avoir déjà le résultat sur R :)
Cela dit, si jamais vous avez eu le temps de lire ma démonstration jusqu’au bout, je serais curieux d’avoir votre avis : même si elle est sans doute inutilement compliquée, est-ce qu’elle vous semble néanmoins correcte sur le fond ? Ou bien y voyez-vous des erreurs ou des manquements que je n’aurais pas perçus ?