Equivalence en l'infinis Séries géométriques dérivées d’ordre 1

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Bonjour,

J'aimerais savoir quelle est l'équivalence, pour K constant (>1), de: la somme pour i allant de 1 à N de i * K^i en plus l'infinis (en fonction de N et K, j'ai attaché une image de l'equation à ce message).
J'aimerais ce résultat pour connaitre la complexité spatiale en O d'un algorithm (j'arrive à cette somme mais je n'arrive pas à l'exprimer sans cette somme à cause du facteur i).

J'ai cherché sur google sans trop de succès, en utilisant comme mots clés:
- équivalences usuelles
- équivalences sommes usuelles
- Séries géométriques dérivées d’ordre 1

J'ai également cherché sur le forum via la barre sans succès avec les mots clés:
- équivalence somme
- Séries géométriques dérivées d’ordre 1

Le document que j'ai trouvé qui s'approche le plus de ce que je cherche est un cours normal sup ici: https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/series.pdf
Ce document mentionne les "Séries géométriques dérivées d’ordre 1" qui correspondent à ce que je cherche, mais il s'intéresse à la convergence pour K < 1 (pas l'équivalence en +infinis pour K > 1).

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J'ai finalement trouvé en cherchant en anglais "sum of k x power k": https://math.stackexchange.com/questions/2782812/finite-sum-kxk
Ce qui donne: N*K^(N+1)

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Bonjour,

Si vous écrivez [tex]kx^k[/tex] = [tex]x.kx^{k-1}[/tex], vous reconnaissez la dérivée. Il faut vraiment avoir ce genre de réflexe, il n'y a vraiment aucune réflexion là dedans, ça m'attriste de voir qu'on utilise google pour ça.

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Bonjour Vincent.

Attention aux effets de bord : Pour K proche de 1, le N*K^(N+1) reste très longtemps très inférieur à la somme, et l'équivalence n'a de sens que pour N extrêmement grand (*). Par exemple, pour K=1,0001, et pour N=10 000, N*K^(N+1) vaut un peu plus de 27 000 alors que la somme vaut plus de 100 000 000.
Si K est loin de 1, ma remarque n'a plus d'importance.

Cordialement.

(*) dans les analyses de complexité, on laisse souvent ça de côté; en pratique ça peut poser problème, on ne fait jamais une infinité d'étapes, ni ne manipule des termes infiniment longs.