Bonsoir,
Soient [TEX]u_1 , u_2 , u_3 \in \mathcal{C}^{ \infty } ( \mathbb{R}{+}^{*} imes \mathbb{R}^3 )[/TEX], telles que, [TEX]\forall t \in \mathbb{R}{+}^{*}[/TEX] , [TEX]\forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) [/TEX], on a, [TEX]\displaystyl \int_{ \mathbb{R}^3 } \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0 [/TEX]
La condition [TEX]\displaystyl \int_{ \mathbb{R}^3 } \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0 [/TEX] existe. ( Voir, https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_fondamental_du_calcul_des_variations , paragraphe, Lemme de Haar ).
Comment montrer que, [TEX]\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}[/TEX] , [TEX]\forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) [/TEX], on a,
- [TEX] \ \ \displaystyl \int_{ \mathbb{R}^3 } u_1 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0 [/TEX].
- [TEX] \ \ \displaystyl \int_{ \mathbb{R}^3 } u_2 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0 [/TEX].
- [TEX] \ \ \displaystyl \int_{ \mathbb{R}^3 } u_3 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0 [/TEX].
Merci d’avance.
Bonsoir,
Le présent fil remonte à plus de 3 ans.
Je me permets de le déterrer à fin de voir si quelqu'un peut m'aider.
Merci d'avance.
J'ai oublié de préciser que la condition suivante est vérifiée aussi,
[TEX]\exists M > 0[/TEX], [TEX] \forall t \geq 0[/TEX], [TEX]\displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{3} } | u (t,x) |^2 dx \ < \ M[/TEX], où, [TEX]u(t,x) = ( u_1 (t,x) , u_2 (t,x) , u_3 (t,x ))[/TEX]
Est ce que c'est possible de montrer cet exercice par contraposée ?
Merci d'avance.
Bonjour,
Est ce que le raisonnement suivant est correct,
On a,
[TEX]0 \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_1 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ dx | [/TEX]
[TEX] \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup u_1 ) imes \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ dx |[/TEX]
[TEX] \leq | (\sup u_1) | imes | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ dx |[/TEX]
[TEX] \leq | (\sup u_1) | imes | 0 |[/TEX]
[TEX] \leq 0 [/TEX]
D'où, [TEX]\displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_1 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ dx = 0[/TEX]
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
J'ai quelques doutes concernant le passage suivant,
[TEX] | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_1 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ dx | [/TEX]
[TEX] \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup u_1 ) imes \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ dx |[/TEX]
Est ce que vous pouvez me corriger s'il vous plaît ?
Merci d'avance.