Salut tout le monde, j'espère que je ne vais pas vous inonder de sujets les jours qui viennent, je suis en préparation intensive de mes partiels.... Merci beaucoup
Prenons une matrice A 2x2 et X'=AX
Définition : partitions constituée des orbites de A, donc pour une valeur X0=x0,y0 donnée, j'ai une trajectoire, l'image d'une solution de X'=AX passant par ce point.
Je ne comprends pas du tout comment obtenir toutes ces trajectoires... Dans un portrait, il y a l'abscisse et l'ordonnée, qu'y a-t-il en abscisse ??? et en ordonnée ??
Prenons l'exemple de A=[1 3] [3 1], j'ai des VP 4 et -2, associées à 1 1 et à -1 1 comme vecteurs.
D'après mon cours, je trace les droites dirigées par ces vecteurs, qui forment une croix. Comment obtenir tout le reste maintenant ??
Si on prend une trajectoire [TEX]t o (X(t),Y(t))[/TEX], c'est une courbe paramétrée ( reprends ton cours sur les courbes paramétrées ), alors, pour, [TEX]t=t_0[/TEX] donnée, [TEX]M(t_0) = (X(t_0) , Y(t_0))[/TEX] est un point géométrique du plan associé à un repère pas nécessairement orthonormé TEX[/TEX], tel que, [TEX]M (t_0 )[/TEX] a pour abscisse, [TEX]X(t_0)[/TEX], et pour ordonnée , [TEX]Y(t_0)[/TEX].
Edit : Croisement avec le message de VictimairW3b.
Vous savez que [TEX]\begin{bmatrix}x \y\end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}1 \1\end{bmatrix}\exp(4\cdot t)+\beta\begin{bmatrix}-1 \1\end{bmatrix}\exp(-2\cdot t)/TEX et [TEX]\begin{bmatrix}x \y\end{bmatrix}(t=0)=\begin{bmatrix}0 \1\end{bmatrix}[/TEX] permet de calculer α et β. Vous avez alors la courbe y(x) en paramétrique.
Tu as tout dit dans cette phrase : "pour une valeur X0=x0,y0 donnée, j'ai une trajectoire, l'image d'une solution de X'=AX passant par ce point."
En notant X=(x(t),y(t)), une solution est une couple (x(t),y(t)), donc justement une courbe paramétrée, une trajectoire. Pour chaque choix de x0 et y0, tu obtiens (généralement) une solution différente, donc une courbe différente, et pour en avoir plusieurs, il te suffit de choisir différentes valeurs de (x0,y0).
Ici avec les exponentielles, on un point et les deux asymptotes [TEX]\alpha\begin{bmatrix}1 \1\end{bmatrix}\exp(4\cdot t)[/TEX] parallèle à l'une des branches de la croix et [TEX]\beta\begin{bmatrix}-1 \1\end{bmatrix}\exp(-2\cdot t)[/TEX] parallèle à l'autre. Donc on raccorde ...
Je ne sais pas vraiment, dans la correction, le portrait est donné sans plus d'explication alors que j'ai l'impression que c'est tout une affaire de tracer un portrait.
Ici, d'après le cours j'ai une croix. Une fois que j'ai tracé ces deux droites, comment je fais le reste ? De quel point parlez-vous svp ?
Je parle de votre point de départ (0,1) qui permet de calculer α et β.
Si c'est un examen papier, on vous demandera une allure : si on se limite aux systèmes linéaires en dimension 2 votre cours dit "Il est indispensable de bien connaître l'allure des portraits de
phase des equations linéaires autonomes en dimension 2. On vient de voir qu'il suffit de déterminer les portraits de phase pour une seule matrice dans chaque classe de conjugaison"
Dans ce cas, après diagonalisation (ou non !), vous connaissez l'allure, il suffit de placer vos vecteurs propres.
... Mais je ne connais pas le programme de votre partiel ...
En gros, je détermine quelle allure est censé avoir mon portrait. Je trace les deux droites en question grâce à la proposition "Si v∈Rn est vecteur propre de A de valeur propre λ∈R, on a A(v) = λv,
et donc etAv = etλv (t ∈R). Une droite propre (pour une valeur propre
non nulle λ ∈R∗), est donc r´eunion de trois orbites : l’origine, et les deux
demi-droites ouvertes."
Et je trace les courbes par rapport à ces deux droites en respectant l'allure, est-ce que c'est tout ?
