je relis les Elements d'Euclide et je trouve - comme sans-doute tout le monde - frappant le fait qu'il existe une infinité de polygones réguliers mais seulement cinq polyèdres réguliers (convexes, il y a aussi des polyèdres étoilés réguliers, inconnus d'Euclide)
je me demandais ce qu'il en était en dimension supérieure. Je n'arrive pas du tout à intuiter la réponse. Le passage de l'infini à 5 et tellement drastique que je ne vois pas comment la suite pourrait se continuer. Pifométriquement je dirais que quand la dimension s'accroît la régularité implique de plus en plus de contraintes, et donc il devrait être de plus en plus difficile pour un polyèdre d'être régulier (donc la suite des nombres de polyèdres réguliers devrait décroitre). Je pense quand-même (toujours au pif) qu'il devrait y avoir des hypercubes réguliers en toutes dimensions, et peut-être aussi des simplexes (des "hyper-tétraèdres"), donc la suite n'atteindrait pas le zéro...
L'objet géométrique généralisant à une dimension quelconque [TEX]n[/TEX] les polygones en dimension [TEX]2[/TEX] et les polyèdres en dimension [TEX]3[/TEX], s'appelle : polytope. Pour en savoir plus, voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Polytope
Les polytopes sont des objets d'études largement utilisés en cours d'optimisation convexe et en programmation linéaire.
Quant j'étais en L3 il y a plusieurs années maintenant, on avait tout un module costaud nommé : Programmation linéaire, qui traitait des algorithmes résolvant des problèmes d'optimisation basés sur l'utilisation de polytopes. C'est un cours passionnant, mais, comme j'ai tout oublié sur ce cours, je ne peux pas t'en dire plus. J'utilise rarement la programmation linéaire dans mon travail mathématique.
Pour ce qui est de ta question initiale de ce fil, voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Polytope_r%C3%A9gulier
Il en est dit sur ce lien, qu'en dimension 4, il y a 6 polychores réguliers convexe, et en dimension 5 et plus, il y en a seulement 3 polytopes réguliers convexes.