Je travaille actuellement sur le théorème 3.18 du livre Analyse matricielle de Jean-Étienne Rombaldi (cf. capture jointe). Le théorème propose deux inégalités relatives à la stabilité de la solution d’un système linéaire sous perturbation du second membre (formule (3.5)), puis sous perturbation de la matrice (formule (3.6)).
Cependant, une formulation me semble problématique : l’énoncé de la deuxième inégalité (3.6) parle de [TEX]x + \delta x[/TEX] comme de la solution du système perturbé TEXy = b[/TEX], sans aucune hypothèse d’inversibilité de [TEX]A + \delta A[/TEX].
Cela me paraît incomplet, car rien ne garantit que la matrice perturbée reste inversible. En particulier, [TEX]A + \delta A[/TEX] peut très bien sortir de [TEX]\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})[/TEX] si la perturbation est trop grande.
Je propose donc la reformulation suivante :
Sous les mêmes hypothèses que dans (3.6), il existe [TEX]r >0[/TEX] tel que si [TEX]| \delta A | \leq r[/TEX], alors [TEX]A + \delta A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})[/TEX] et alors l’inégalité (3.6) est valable.
Cela repose sur le fait que [TEX]\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})[/TEX] est un ouvert de [TEX]\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/TEX]
Je serais curieux d’avoir votre avis sur ce point :
– Est-ce que vous partagez cette lecture ?
– Cette précision vous semble-t-elle nécessaire ou implicite dans ce type d’énoncé (niveau préparation agrégation)
Mais je pense qu’il y a un malentendu sur la nature de la perturbation [TEX]dA[/TEX].
Dans votre message, vous supposez que [TEX]A + dA = (1 + d)A[/TEX], ce qui permet effectivement d’écrire [TEX]\det(A + dA) = (1 + d)^n \det(A)[/TEX], et donc de conclure que [TEX]A + dA[/TEX] est inversible si [TEX]\det(A)
e 0[/TEX] et [TEX]1 + d
e 0[/TEX].
Cependant, dans le cadre du théorème de Rombaldi, [TEX]dA[/TEX] est une perturbation de [TEX]A[/TEX] sans hypothèse de proportionnalité. On ne suppose pas qu’il existe un scalaire [TEX]d[/TEX] tel que [TEX]dA = d \cdot A[/TEX].
Par conséquent, l’expression [TEX]A + dA = (1 + d)A[/TEX] ne s’applique pas ici, et on ne peut pas en déduire l’inversibilité de [TEX]A + dA[/TEX] sans précaution.
C’est justement pour cette raison que je proposais d’ajouter une hypothèse du type [TEX]|dA| \leq r/TEX afin de rester dans [TEX]\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})[/TEX], puisque cet ensemble est un ouvert de [TEX]\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/TEX].