Reconnaitre (facilement) si une configuration de composantes est celle d'un tenseur

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Bonjour

On sait construire un tenseur de variance n = p+q par exemple en réalisant des produits tensoriels de p vecteurs et q co-vecteurs (formes linéaires). Ces éléments étant des objets géométriques 'intrinsèques', un tenseur est une composition qui est aussi un objet géométrique et sa description en géométrie analytique ne dépend pas du système de coordonnées utilisé, même si bien entendu ses "composantes", sur les bases différentes sont différentes, mais liées par les relations entre les bases.

Le problème inverse est, si j'ai une liste de composantes, comment puis-je savoir (simplement) si ce sont celles d'un tenseur (objet géométrique). On peut réaliser une transformation de coordonnées et vérifier qu'elle obéit bien à la loi de transformation des tenseurs, on pourrait aussi (peut-être) calculer des invariants associés à des tenseurs comme le scalaire résultant de toutes les contractions et vérifier qu'il ne dépend pas des coordonnées.

Ces méthodes demandent des calculs qui peuvent être longs. Ma question est: Y a t-il un critère, une méthode qui permet de reconnaître rapidement si cette liste de composantes sont bien celles d'un tenseur.
Cordialement

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Bonjour,

Si tu as une liste de composantes, c'est bien une liste de composantes d'un tenseur.
Le problème se pose lorsqu'on cherche à savoir si les composantes d'un tenseur [TEX]T[/TEX] sont bien des composantes d'un tenseur décomposé.
Autrement dit, on cherche à savoir si les composantes d'un tenseur [TEX]T \in E^* \otimes E[/TEX], à titre d'exemple, s'il se met sous la forme [TEX]T = {\vec{u}}^* \otimes \vec{v}[/TEX], avec, [TEX]{\vec{u}}^* \in E^[/TEX], et, [TEX]\vec{v} \in E[/TEX]. Parce que, en général, un tenseur, par exemple, [TEX]T \in E^ \otimes E[/TEX], se met sous la forme,[TEX] T = \displaystyle \sum_{ i,j } {\vec{u}}{i}^* \otimes {\vec{v}}{j} [/TEX], et non sous la forme, [TEX]T = {\vec{u}}^* \otimes \vec{v}[/TEX]. C'est là que ça ne marche pas toujours.

Cordialement.

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Bonjour
Merci pour Ta réponse. La formulation de ma question n'était peut-être pas assez claire. Je faisais allusion aux pseudo-tenseurs par exemple.
Cordialement

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Bonjour.

Pour ta question, il va falloir être plus précis, une allusion n'explique rien. Si tu as une liste de nombres (composantes) comme par exemple (1,2,3), ça peut être pas mal de choses, comme des coordonnées d'un point, des composantes d'un vecteur, la suite des trois premiers entiers strictement positifs ou encore le résultat d'un lancer de dés au 421.
Donc il faut que tu expliques la situation précise où tu aurais des "composantes" sans savoir si ce sont celle d'un tenseur ou pas, et comment tu pourrais faire des transformations de coordonnées sans problème.

Cordialement.

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Bonjour. Le problème c'est votre adverbe "facilement". Cela dépend des cas.

En physique, le plus souvent un tenseur n'est pas donné simplement de but en blanc comme une liste de nombres, mais par une construction à partir d'autres objets. Il faut aussi comprendre qu'un tenseur (défini comme produit tensoriel de représentations d'un groupe) est relatif au groupe des transformations considérées, cela peut être les rotations, les transformations de Lorentz ou des changements de coordonnées générales en relativité. Ce qui est un tenseur pour un certain groupe peut ne pas l'être pour un autre.

En un point, cela peut être par exemple le tenseur d'inertie d'un solide dont on donne la forme et les dimensions. Là on déduit tout de suite que c'est un tenseur en calculant les changement de base orthogonale. Mais il peut résulter aussi d'un produit tensoriel, ou de contractions. Si c'est un champ, il peut être donné par des dérivées (ordinaires ou covariantes) d'un autre champ, ou par une intégration sur un chemin, etc etc.

Un critère qui est envisagé dans certains cas est celui déduit du théorème du quotient: si la contraction du candidat sur un indice avec un vecteur quelconque est reconnu comme un tenseur, alors ce candidat est un tenseur. C'est récursif, cela reporte le problème, mais il y a des cas où ce critère s'applique facilement. Si on contracte sur tous les indices, on doit obtenir un scalaire. Il faut que le critère soit vérifié pour tout vecteur.

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?? Un exemple? (Je pense au cas des "vecteurs axiaux" vs. "vecteurs polaires" et l'effet différent par l'inversion (e.g., https://fr.wikiversity.org/wiki/Outils_math%C3%A9matiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie), mais c'est spécifique (ad-hoc pour la dimension 3). Une meilleure approche est de voir un vecteur axial comme un tenseur de variance 2...)

À ce que je comprends, le critère essentiel est la linéarité (ou la multi-linéarité) plutôt que les symétries.

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Il y a un point de terminologie. Actuellement, en maths, dans le domaine de la géométrie, on définit les tenseurs comme des applications multilinéaires sur un e-v (typiquement l'espace tangent à une variété). La définition traditionnelle qu'on enseignait en relativité générale parlait de "la manière dont ça se transforme". Je préfère la définition traditionnelle car elle est plus générale, elle relève de la théorie des représentations des groupes.

Prenons par exemple le groupe SO(3) des rotations propres dans R^3. Les vecteurs de R^3 forment une représentation de ce groupe, la représentation de définition, avec les matrices orthogonales de déterminant +1 qui agissent dessus. On peut prendre le produit tensoriel de cette représentation par elle-même. Les objets transformés dans cette représentation sont des tenseurs de rang 2. C'est une représentation de dimension 3x3=9. Comme on le sait, elle est réductible il y a des sous-espaces invariants, les tenseurs symétriques et les antisymétriques, de dimensions respectives 6 et 3.

Un autre exemple est formé par les tenseurs du groupe de Lorentz(-Poincaré) sur l'espace-temps de Minkowski "Mink". On peut traiter cette géométrie comme en relativité générale, avec des coordonnées curvilignes, une dérivée covariante et des symboles de Christoffel. Ceux-ci ne sont pas des tenseurs en général, mais si on se limite aux transformations linéaires, typiquement les transformations de Lorentz, qui ont un sens global dans Mink, on peut les considérer comme des tenseurs: le terme non homogène avec des dérivées secondes qui apparaît dans la loi de transformation s'annule pour des transformations linéaires. C'est encore un cas où un non-tenseur pour un groupe de transformation (des changements généraux de coordonnées) peut être considéré comme un tenseur pour un sous-groupe.

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Je comprends le point. Mais ça amène à faire du cas par cas ; pas trop de problèmes en physique, certes. En maths, ça manque de généralité, alors que les tenseurs (la linéarité en général) est une notion bien plus large.

Même en physique, lier les tenseurs aux symétries (= groupes de transformation) est plutôt "mal-guidant" pour les tenseurs de variance supérieure à 3, comme le tenseur de courbure.

Ceci dit, ce sont des considérations bien plus en rapport avec la pédagogie qu'avec les faits... Bref, débat d'opinion, sans conclusion, ni visée ni possible.

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Bonjour,

Si tu regardes ici, https://www.phys.ens.psl.eu/~chevy/Tutorat/Tut7.pdf , page, 2, on explique quant un pseudo - tenseur est un tenseur.

Cordialement.

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PS:

La relation avec la manière de se transformer n'est appliquée que très partiellement dans la pédagogie de la physique. Un bon exemple est la distinction entre vecteurs et formes linéaire. Rares sont les textes qui parlent des règles de transformation des "gradients" par exemple, avec les unités "inversées" (un gradient de température est en Kelvin par mètre, alors qu'un vecteur est en mètres ; donc ils ne se transforment pas pareil par changement d'unité par multiplication par un scalaire). Penser la quantité de mouvement en covariant serait "normal" si on mettait en avant les transformations, mais l'usage ne suit pas...

(Les unités du "vecteur" énergie-quantité de mouvement sont en (1/T, 1/L) fois l'action (un scalaire, variance 0), donc se transforment comme une forme. Là encore, l'usage en physique est différent, faire intervenir (inutilement) la métrique pour les "transformations musicales", solution ad-hoc.)

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C'est ce dont parle ThM55. Même approche pédagogique.

[Remarque "usuelle", si on s'adresse à quelqu'un (le "tu" du message), il est de bon goût d'indiquer le message auquel cela répond. Bien moins ambigu...]

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Je m'adresse à tout le monde, y compris ''vous''. :S:

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Bonjour

En mécanique analytique, ayant défini un système de coordonnées avec sa base, pour un tenseur T (0,2) de composantes Tij, (i, j de 0 à 3), qui sont des fonctions scalaires des coordonnées ou des constantes, on peut représenter ces 16 composantes dans un tableau de dimension i x j, ici 4x4.

Si je remplis ce tableau avec des fonctions "au hasard", il me semble que j'ai peu de chance pour cela corresponde aux composantes d'un tenseur.

On peut faire des tests, avec ces valeurs prises au hasard, pour vérifier que c'est un tenseur, comme vérifier qu'il satisfait aux lois de transformation lorsqu'on change de coordonnées ou que le scalaire obtenu par toutes les contractions ne dépend pas du système de coordonnées ( ce qui implique que si le tenseur est nul dans des coordonnées il l'est dans toutes). Il y a sans doute d'autres critères (d'où ma question)!

Les pseudo-tenseurs (qu'on peut aussi représenter par leurs composantes dans un tableau) par exemple, ne satisfont pas à ces critères: ils peuvent être nuls dans un système de coordonnées et non nuls dans d'autres, donc, bien qu'ils y ressemblent ce ne sont pas des tenseurs.

Ce cas n'est pas sans application car c'est un pseudo- tenseur qui représente la gravitation en relativité générale, elle ne peut pas être représentée par un tenseur du fait qu'elle peut s'annuler localement dans des coordonnées (dites localement "inertielles") et pas dans d'autres.
Lifchitz et aussi Einstein avaient ainsi défini différent pseudo-tenseurs de "gravitation" à cet effet.

Concernant les symboles de Christoffell ce ne sont pas de tenseurs.

Cordialement

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PS:

En maths, le symbole de Levi-Civita (https://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Levi-Civita) n'est ni un tenseur, ni en pseudo-tenseur, mais un "symbole"... Ses propriétés dépendent de la dimension. Le cours cité se restreint au symbole à l'ordre 3, pas par hasard...

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Interprétation possible, mais non unique, = ambigu. Donc conforme à ma remarque sur le bon goût. Mais je comprends très bien que cela puisse être une considération sans intérêt.

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C'est lequel, précisément, ce pseudo-tenseur ?

(Curieusement peut-être, je n'emploie rien de tel. Pour moi la gravitation en RG est représentée par le tenseur de courbure.)

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Comme je l'ai déjà mentionné, le théorème du quotient permet parfois de répondre rapidement à la question.

L'exemple classique est celui du tenseur de Riemann (qui est un champ tensoriel), si on le définit par la commutation des dérivées covariantes avec une connexion sans torsion:

[TEX]
abla_c
abla_d X^a -
abla_d
abla_c X^a = R^a_{~ bcd}X^b[/TEX]

On sait que les dérivées covariantes sont des tenseurs, par construction de la dérivée covariante, donc le membre de droite est aussi un tenseur et la relation a lieu pour tout vecteur X. Donc par le théorème du quotient, les composantes [TEX]R^a_{bcd}[/TEX] sont celles d'un tenseur. Il est dans ce cas inutile de développer en détails la loi de transformation de R, on a le résultat immédiatement.

NB: on peut considérer les indices comme des "indices formels", donc la formule n'écrit pas des composantes, mais les indices ne servent que de "places" pour montrer le type de tenseurs et où l'ordre des arguments (voir Wald, ou Penrose&Rindler).

Un exemple de pseudo tenseur est celui qui représente l'énergie-impulsion du champ de gravitation lui-même, isolé de celui de la matière, déduit comme dans le théorème de Noether de la densité lagrangienne. La somme avec ce dernier a une divergence nulle (non covariante) mais ce n'est pas un tenseur. On peut trouver un changement de coordonnées qui l'annule en un point arbitraire (autrement dit, on ne peut pas localiser l'énergie du champ de gravitation, contrairement à celle de l'électromagnétisme, je comprend cela comme une sorte de conséquence du principe d'équivalence).

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Au fond je ne comprends ni la question ni les réponses. Trop matheux j'imagine ?

C'est comme demander comment reconnaître si un triplet de réels (composantes) est un vecteur.

Cela ne peut se comprendre qu'avec une définition restrictive de la notion de vecteur. Pareil pour "tenseur".

Vu des mathématique, ces termes ne sont définis ni par les composantes, ni par la "transformation" des composantes. Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, c'est tout. Un tenseur est un élément d'un espace tensoriel, c'est tout.

Les réponses montrent autre chose, une vision interprétative, "physique", étroites, d'objets mathématiques dont le caractère tensoriel est défini beaucoup plus largement.

Par exemple, si on prend comme "application" d'un tenseur un opérateur multi-linéaire d'un produit d'espaces vectoriels vers un produit d'espace vectoriels, les règles de transformation des composantes d'un tenseur lors de changements de coordonnées de tous les espaces vectoriels concernés sont imposées, pas le choix, pas de variations, donc aucune "caractérisation" à en tirer, non?

De quoi parle-t-on, exactement? Quelle est la notion de "tenseur" sous-jacente aux réponses? La question se pose, puisque ni la question, ni la plupart des es réponses ne collent avec la définition mathématique générale.

[Pour les vecteurs, cela semble plus clair. Par défaut en physique ce sont les éléments d'espaces vectoriels tangents de variété différentielles. Cela distingue par exemple "vecteurs" et "covecteurs" (formes linéaires) alors que du point de vue général les deux cas sont des "vecteurs" au sens d'éléments d'espace vectoriel. Est-ce que la notion de "tenseur" sous-jacente aux réponses serait liée à cela, limitée aux espaces tensoriels construits comme opérant sur des espaces tangents et cotangents à une variété, et même plus précisément à l'espace 3D classique ou à l'espace-temps 4D ?]

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Juste un exemple:

Certes. (Plus précisément, l'opérateur "dérivation covariante" construit un (champ d') opérateur multi-linéaire sur certains espaces vectoriels à partir d'un champ tensoriel, dont un particulier est un champ de vecteurs.)

[QUOTE]
Donc par le théorème du quotient, les composantes [TEX]R^a_{bcd}[/TEX] sont celles d'un tenseur.
[/QUOTE]

??? C'est tautologique, noin? Si un objet est un tenseur, alors ses composantes sont celles d'un tenseur! Aucun théorème à invoquer!

[QUOTE]
Il est dans ce cas inutile de développer en détails la loi de transformation de R, on a le résultat immédiatement.
[/QUOTE]

Ben oui, puisque c'est tautologique.

[QUOTE]
NB: on peut considérer les indices comme des "indices formels", donc la formule n'écrit pas des composantes, mais les indices ne servent que de "places" pour montrer le type de tenseurs et où l'ordre des arguments
[/QUOTE]

Oui, convention d'écriture pour décrire un opérateur multi-linéaire. Quoi de plus?

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Bonjour
Merci pour toutes ces informations. Je pensais que ma question était claire (reconnaitre si une configuration de composantes peut être celle d'un tenseur, puisque comme indiqué, cela peut aussi être, entre autres, un pseudo- tenseur, un symbole (levi-civita, kronecker,..etc.) .

Il semble qu'il y ait débat sur ce qu'est un tenseur. Une application multilinéaire, oui, mais cela me parait plus une propriété qu'une définition.

Peut-être que le débat relève plus de la rubrique physique que mathématique sur ce point.
En physique, en relativité générale par exemple, la représentation par des tenseurs est naturelle puisque le "champ gravitationnel" est de nature tensorielle à la différence du champ électromagnétique qui est vectoriel et celui de la matière qui est spinoriel.

Il me semble que ce qui est fondamental, en physique c'est d'obtenir une description des lois de la nature indépendante de sa représentation dans un système de coordonnées. En cela, un tenseur, par ses différentes contractions, produit des 4-scalaires dont la valeur physique est indépendante du système de coordonnées utilisé (cela est en relation avec les lois de transformation des tenseurs lorsqu'on change de coordonnées). Exemple le scalaire de Ricci, de Kretschmann en relativité générale. Ceci me semble un critère décisif pour identifier un tenseur. Ainsi, si un tenseur est nul dans des coordonnées particulières il l'est dans toutes, ce qui n'est pas le cas des pseudo-tenseurs.
Cordialement